Découverte de différents arbres fractals

et de leurs propriétés algébriques

A l’aide du logiciel « fractaltree »réalise la construction de l’arbre

fractal qui est définie dans chacune des énigmes ci-dessous.

A chaque fois que tu as découvert l’ arbre fractal d’une énigme,

fait le contrôler par ton maître, puis effectue une « copie écran »

que tu placeras en réserve dans ton dossier personnel.

Durant cette découverte, n’hésite pas à utiliser ta créativité pour

jouer avec les effets de couleurs sur un fond gris ou noir.          

Les images ainsi obtenues sont  étonnantes et  belles, alors ne te

prive pas de ce plaisir.

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Enigme 1

 

Construis l’arbre à deux branches isométriques du sureau noir, à

l’aide de ton dossier.

Le tronc mesure 4 cm.

Calcule la longueur du « 1er segment de branche » :……..……cm

Applique le bon angle et le tour est joué. Angle :……….°         

 

Utilise les couleurs, et dans le distributeur de couleurs, essaye

« Leaves only », ce qui signifie  «seulement les feuilles».

Constatation :…………………………………………………………...

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Enigme 2

 

A partir de l’arbre du sureau noir, conserve le même tronc et la

même longueur de « 1er segment de branche », mais fait varier

l’angle entre les deux premières branches.

Ce nouvel arbre à deux branches possède une couronne entière

de forme différente du sureau noir , à toi de le trouver.

Quel est cet angle ?  ………°

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Enigme 3

 

Le prochain arbre fractal  à découvrir est  le « sapin de

Sierpinski ». C’est un arbre à trois branches isométriques,

le tronc mesure 5 cm. En faisant des essais avec « fractaltree »,

détermine l’angle entre le tronc et les «1er segments de branches »,

ainsi que l’angle entre les « 1er segments de branches ».

Puis ajuste la longueur des « 1er segments de branches » en

observant la  forme de la couronne du sapin de Sierpinski.

Devine l’échelle de cet arbre fractal ,de manière à obtenir la

forme géométrique de la couronne la plus simple.

 Cette échelle  est un rapport simple constitué de deux nombres

naturels.

                              

 

 

Une fois le sapin de Sierpinski obtenu, fais le contrôler par ton

maître. Ensuite, saisis le tronc de l’arbre par le bas  à l’aide de la

souris, et allonge le de 2,5 cm.

Calcule la nouvelle échelle  de ce nouvel arbre :

                                                                                                                

                                                                              

 

Enfin, replace le bas du tronc à sa position de départ

(tronc=5 cm ),puis cette fois, allonge le haut du premier

segment de la branche centrale de 1 cm. Qu'obtiens-tu ?

....................................................

 

Enigme 4

 

 

Ce nouvel arbre fractal  a  trois branches isométriques et un

tronc de 5 cm. Comme pour l’arbre précédent, tu dois trouver toi

même les angles et l’échelle.

                                                                            

 

 

Comme indice , tu as l’information que le sommet de la couronne

forme un angle de 90°.

 

Lorsque tu as découvert ton arbre, fait le contrôler par ton maître.

Ensuite, saisis le tronc de l’arbre par le bas  à l’aide de la souris, et

allonge le de 2,5 cm.

Calcule la nouvelle échelle de cet arbre :

                                                                                            

 

 

Enfin, allonge de  2,5 cm le haut du 1er segment de la

branche centrale, et décentre le d’environ 1 cm sur la droite.

Qu’obtiens-tu ?……………………………………………….

__________________________________________________

Situation de recherche :

 

Pour chaque arbre fractal tu as calculé la longueur d’une lignée.

Recopie ici les trois lignées suivantes :

Série de l’énigme 2

 

 

 

 

 

 

1 + (     )1  +  (     )2  +  (      )3  +  (      )4  +  ….  +  (      )n   =  …….

Série de l’énigme 3

 

 

1 + (     )1  +  (     )2  +  (      )3  +  (      )4  +  ….  +  (      )n   =  …….

Série de l’énigme 4

 

 

 

 

 

 

1 + (     )1  +  (     )2  +  (      )3  +  (      )4  +  ….  +  (      )n    =  …….

 

Saurais-tu trouver la formule en fonction de a  qui généralise toutes

les séries  ayant  la même forme que celle-ci :

 

 

1 + ( 1   )1  + (  1   )2  + (  1   )3 +  (  1  )4 +  ….  + (  1   )n  = ……. ?

        a              a            a               a                      a

 

Cette série est d’ailleurs célèbre, elle s’appelle la série géométrique.

Essaye de te fabriquer quelques séries, à l’aide d’un arbre à une

branche.

Choisis judicieusement la grandeur du tronc (unité quelconque) afin

de pouvoir mesurer précisément la longueur de la lignée.

Cette collection de séries devrait te permettre de trouver la formule.

 

 

 

 

 

 

1 + (     )1  +  (     )2  +  (      )3 +  (      )4 +  ….  +  (      )n  =  ……

 

 

 

 

 

 

 

1 + (     )1  +  (     )2  +  (      )3 +  (      )4  +  ….  +  (      )n =  ……

 

 

Enigme 5

 

Recherche un arbre à six branches isométriques avec un tronc

mesurant 9 cm.

L’angle entre les six « 1er segments de branches » est le même.

Le sommet de la couronne forme un angle qui vaut le double de

l’angle entre les « 1er segments de branches ».

Applique l’échelle appropriée pour obtenir un arbre fractal dont

la couronne a pour « arêtes » de la poussière de Cantor.

                                            

 

 

 

Une fois ton arbre fractal découvert, fait le contrôler par ton maître.

Ensuite, saisis le tronc de l’arbre par le haut à l’aide de la souris,

et décentre le d’environ 1 cm sur la gauche.

Qu’obtiens-tu ? ……………………………………………………………

Enigme 6

 

L’arbre fractal que tu vas chercher possède une couronne  très

particulière puisqu’elle a la forme de la « courbe de Von Koch ».

Il s’agit d’un arbre  symétrique  à deux branches isométriques ,

dont le tronc mesure 10 cm.

Cherche à former un triangle équilatéral ,en positionnant

précisément les deux  « 1er segments de branches » avec la souris.

Cela te permettra de trouver la couronne en forme de

« courbe de Von Koch» sans mesurer, mais simplement en ajustant

la position des deux branches.

Une fois ta courbe fractale découverte, fait la contrôler par ton maître.

Dimension fractale

 

Cette courbe fractale de Von Koch a une certaine « épaisseur »,

ce n’est donc pas une ligne à 1 dimension.

Cette courbe fractale de Von Koch est aussi perforée de «petits trous».

Ce n’est donc  pas une surface à 2 dimensions.

 

(Fais un zoom sur la « courbe de Von Koch » pour t’en convaincre,

en pressant la touche « majuscule » et en cliquant sur l’écran).

Cette courbe fractale possède une dimension située entre   1  et 2 .

Il s’agit donc d’une dimension intermédiaire d’environ   (  1,…   )  ?

La dimension fractale exacte de cette courbe fractale est 1,26…

 

                         

 

 

 


MATH : Hasard et pavage fractal 
MATH : Géométrie fractale 
MATH : Algèbre fractale 
MATH : Dynamique fractale 
ATS : Autorégulation fractale 
ATS : Chaos et ensembles fractals 
ATS : Fluctuations fractales 
ATS : Evolution fractale